Pengertian Integral

Pada bagian pertama kita telah mengenal definisi integral dan kaitannya dengan konsep turunan. Nah kali ini kita akan belajar mengenai sifat-sifat yang dimiliki integral tak tentu sehingga kita dapat memahami karakteristik dari integral dalam soal-soal yang akan kita kerjakan.

Bentuk umum integral tak tentu adalah sebagai berikut.

$\int f (x) d x = F (x) + c$

dengan:

c

adalah konstanta pengintegralan

f (x)

adalah integran

F (x)

adalah fungsi integral umum dan

F (x)

bersifat

F^{'} (x) = f (x)

Bagaimanakah aturan-aturan atau sifat-sifat integral tak tentu? Berikut penjelasan mengenai aturan-aturan atau sifat-sifat integral tak tentu fungsi aljabar.

Mari Mengamati

No.	RUMUS	SIFAT-SIFAT
1.	$\int d x = x + c$	$\int a . f (x) d x$ = $a \int f (x) d x$
2.	$\int$ $a$ $d x = a x + c$	$\int$ { $f (x) + g (x)$ } $d x$ = $\int f (x) d x$ + $\int g (x) d x$
3.	$\int$ $x^{n}$ $d x$ = $\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c$ Dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1	$\int$ { $f (x) - g (x)$ } $d x$ = $\int f (x) d x$ - $\int g (x) d x$
4.	$\int$ $a x^{n} d x$ = $\frac{a}{n + 1} x^{n + 1} + c$ Dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1

Untuk memperdalam pemahaman kalian mengenai rumus dan sifat-sifat dari integral tak tentu coba perhatikan contoh beriut.perhatikan beberapa contoh soal dibawah ini!

Contoh soal

$\int a d x = a x + c$

Contoh:
- Contoh 1
- Contoh 2
Hitunglah integral dari $\int 5 d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int a d x = a x + c$ , maka kita memperoleh:

$\int 5 d x$

$= 5 x + c$

Jadi, hasil integral dari $\int 5 d x$ adalah $5 x + c$

Hitunglah integral dari $\int \frac{3}{4} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan rumus dasar Integral $\int a d x = a x + c$ , maka kita memperoleh:

$\int \frac{3}{4} d x$

$= \frac{3}{4} x + c$

Jadi, hasil integral dari $\int \frac{3}{4} d x$ adalah $\frac{3}{4} x + c$

$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c, n \neq - 1$

Contoh:
- Contoh 1
- Contoh 2
Hitunglah integral dari $\int x^{3} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c, n \neq - 1$ , maka kita memperoleh:

$\int x^{3} d x$

$= \frac{1}{3 + 1} x^{3 + 1} + c$

$= \frac{1}{4} x^{4} + c$

Jadi, hasil integral dari $\int x^{3}$ adalah $\frac{1}{4} x^{4} + c$

Hitunglah integral dari $\int \frac{1}{x^{2}} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c, n \neq - 1$ , maka kita memperoleh:

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$

$= \frac{1}{- 2} x^{- 2 + 1} + c$

$= - x^{- 1} + c$

$= - \frac{1}{x} + c$

Jadi, hasil integral dari $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ adalah $= - \frac{1}{x} + c$

$\int a x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{x + 1} + c, n \neq - 1$

Contoh:
- Contoh 1
- Contoh 2
Hitunglah integral dari $\int 2 \sqrt{x} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int a x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{x + 1} + c, n \neq - 1$ , maka kita memperoleh:

$\int 2 \sqrt{x} d x$

$= \int 2 x^{\frac{1}{2}}$

$= \frac{2}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} + c$

$= \frac{2}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + c$

$= 2. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$

$= \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + c$

$= \frac{4}{3} x \sqrt{x} + c$

Hitunglah integral dari $\int 3 x^{2} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan rumus dasar integral $i n t a x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + c, n \neq - 1$ dan manipulasi aljabar, maka diperoleh:

$\int 3 x^{2}$

$= \frac{3}{2 + 1} x^{2 + 1} + c$

$= \frac{3}{3} x^{3}$

$= x^{3} + c$

$\int a . f (x) d x$ = $a \int f (x) d x$

Contoh:

Tentukanlah hasil dari $\int 2 x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan sifat integral $\int a . f (x) d x = a \int f (x) d x$ dan manipulasi aljabar, maka kita memperoleh:

$\int 2 x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$

$= \int 2 x^{4} . x^{\frac{3}{2}} d x$

$= 2 \int x^{4} . x^{\frac{3}{2}} d x$

$= 2 \int x^{4 + \frac{3}{2}}$

$= 2 \int x^{\frac{11}{2}}$

$= 2 [\frac{1}{\frac{11}{2} + 1} x^{\frac{11}{2} + 1}] + c$

$= 2 [\frac{1}{\frac{13}{2} + 1} x^{\frac{13}{2} + 1}] + c$

$= 2 [\frac{1}{\frac{13}{2}} x^{\frac{13}{2}}] + c$

$= \frac{2}{\frac{13}{2}} x^{\frac{13}{2}} + c$

$= 2. \frac{2}{13} x^{\frac{13}{2}}$

$= \frac{4}{13} x^{\frac{13}{2}} + c$

$= \frac{4}{13} x^{6} \sqrt{x} + c$

Jadi, hasil dari $\int 2 x^{4} \sqrt{x^{3}} d x$ adalah $= \frac{4}{13} x^{6} \sqrt{x} + c$

$\int$ { $f (x) + g (x)$ } $d x$ = $\int f (x) d x$ + $\int g (x) d x$

Contoh:

Tentukanlah hasil dari $\int (x + 2)^{2} d x$

Penyelesaian:

Dengan menerapkan sifat integral $\int f (x) + g (x) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ dan manipulasi alajabar, maka kita memperoleh:

$\int (x + 2)^{2} d x$

$= \int (x + 2) (x + 2)$

$= \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

$= \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

$= \int x^{2} d x + 4 \int x d x + \int 4 d x$

$= \frac{1}{2 + 1} + 4 [\frac{1}{1 + 1} x^{1 + 1}] + 4 x + c$

$= \frac{1}{3} x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + 4 x + c$

$= \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + c$

Jadi, hasil dari $\int$ { $f (x) + g (x)$ } $d x$ = $\int f (x) d x$ + $\int g (x) d x$ adalah $= \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + c$

$\int f (x) - g (x) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$

Contoh:

Tentukanlah hasil dari $\int \frac{x^{3} - 2 x}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Penyelesaian

Dengan menerapkan sifat integral $\int f (x) - g (x) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ dan manipulasi alajabar, maka kita memperoleh:

$\int \frac{x^{3} - 2 x}{\sqrt{x^{3}}} d x$

$= \int (\frac{x^{3}}{\sqrt{x}} - \frac{2 x}{\sqrt{x}}) d x$

$= \int (x^{3} . x^{- \frac{1}{2}} - 2 x . x^{- \frac{1}{2}}) d x$

$= \int (x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}) d x$

$= \int x^{\frac{5}{2}} d x - \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

$= \int x^{\frac{5}{2}} d x - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

$= \frac{1}{\frac{5}{2} + 1} x^{\frac{5}{2} + 1} - 2 [\frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1}] + c$

$= \frac{1}{\frac{7}{2}} x^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}} + c$

$= 1. \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - 2. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + c$

$= \frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{7}{2}} + c$

$= \frac{2}{7} x^{3} \sqrt{x} - \frac{4}{3} x \sqrt{x} + c$

Jadi, hasil dari $\int \frac{x^{3} - 2 x}{\sqrt{x^{3}}} d x$ adalah $= \frac{2}{7} x^{3} \sqrt{x} - \frac{4}{3} x \sqrt{x} + c$

Carilah nilai $f (x)$ jika $f^{'} (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$ dan $f (0) = 1$ .

Penyelesaian:

Diketahui	:	$f^{'} (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$ , $f (0) = 1$
Ditanya	:	Carilah nilai $f (x) ?$
Dijawab	:

$f^{'} (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3$

maka $f (x) = \int x^{3} - 4 x^{2} + 3 d x$

$F (x) = \int x^{3} - 4 x^{2} + 3 d x$

$= \frac{1}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + 3 x + c$

→ $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 3 x + c$ , karena $f (0) = 1$ , maka

→ $f (0) = \frac{1}{4} (0)^{3} - \frac{4}{3} (0)^{3} + 3 (0) + c$

→ $1 = 0 - 0 + 0 + c$ , berarti $c = 1$ .

Jadi, nilai $f (x)$ adalah $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 3 x + 1$

Petunjuk

Isikan jawaban kamu pada kolom titik-titik atau kosong secara berurutan dari kiri ke kanan disetiap.
Gunakan angka dan simbol matematika ( $+, -, :, d l l)$ saat memasukkan jawaban
Jika jawaban kamu benar maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna hijau.
Jika jawaban kamu salah maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna merah.
Input disamping akan terisi jika jawaban anda benar

Mari Mencoba 1

$1$ . Carilah hasil integral dari $\int 12 d x$

Penyelesaian:

$\int 12 d x =$ $x$ $+ c$

Jadi, hasil integral dari $\int 12 d x$ adalah

$2$ . Carilah hasil integral dari $\int x^{- 5} d x$

Penyelesaian:

\int x^{- 5} d x =

x

+ c =

x

+ c

Jadi, hasil integral dari $\int x^{- 5} d x$ adalah

$3$ . Carilah hasil integral dari $\int 9 x^{- 4} d x$

Penyelesaian:

\int 9 x^{- 4} d x =

x

+ c =

x

+ c =

x

+ c

Jadi, hasil integral dari $\int 9 x^{- 4} d x$ adalah

$4$ . Carilah hasil integral dari $6 \sqrt{x^{4}} d x$

Penyelesaian:

$6 \sqrt{x^{4}} d x$

= \int

x

^{^/}

= \int

x

=

x

+ c =

x

+ c =

x

+ c

Jadi, hasil integral dari $\int 6 \sqrt{x^{2}} d x$ adalah

∫f(x)dx=F(x)+c

Mari Mengamati

Contoh soal

Rumus

Sifat-sifat

Contoh Lain

Mari Mencoba 1

Mari Mencoba 2

$\int f (x) d x = F (x) + c$