$\int f(x) dx = F(x) + c$
Bagaimanakah aturan-aturan atau sifat-sifat integral tak tentu? Berikut penjelasan mengenai aturan-aturan atau sifat-sifat integral tak tentu fungsi aljabar.
Mari Mengamati
| No. | RUMUS | SIFAT-SIFAT |
|---|---|---|
| 1. | $\int dx=x+c$ | $\int a.f(x)dx$ = $a\int f(x)dx$ |
| 2. | $\int$ $a$ $dx= ax+c $ | $\int$ {$f(x) + g(x)$}$dx$= $\int f(x)dx$ + $\int g(x)dx $ |
| 3. | $\int$ $x^n$ $dx$= $\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c$ Dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1 |
$\int$ {$f(x)- g(x)$}$dx$= $\int f(x)dx$ - $\int g(x)dx $ |
| 4. | $\int$ $ax^{n}dx$ =$\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ Dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1 |
Contoh soal
-
$\int a dx = ax + c$
Contoh:
Hitunglah integral dari $\int{5} dx $
Penyelesaian:
Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int{a} dx = ax+ c$, maka kita memperoleh:
$\int{5} dx$
$= 5x + c$
Jadi, hasil integral dari $\int 5 dx$ adalah $5x +c$
Hitunglah integral dari $\int{\frac{3}{4}}dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan rumus dasar Integral $\int{a} dx = ax + c$, maka kita memperoleh:
$\int{\frac{3}{4}}dx$
$=\frac{3}{4}x + c$
Jadi, hasil integral dari $\int{\frac{3}{4}}dx$ adalah $\frac{3}{4}x + c$
-
$\int{x^n} dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c, n ≠ -1$
Contoh:
Hitunglah integral dari $\int x^{3} dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int{x^n} dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c, n ≠ -1$, maka kita memperoleh:
$\int{x^3} dx$
$= \frac{1}{3+1}x^{3+1} + c$
$= \frac{1}{4}x^4 + c $
Jadi, hasil integral dari $\int x^3$ adalah $\frac{1}{4}x^4 + c$
Hitunglah integral dari $\int{\frac{1}{x^{2}}}dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int{x^n} dx =\frac{ 1 } { n + 1 } x ^ { n+ 1} + c, n ≠ -1$, maka kita memperoleh:
$\int{\frac{1}{x^{2}}}dx$
$=\frac{1}{-2}x^{-2+1} +c$
$=-x^{-1} + c$
$=-\frac{1}{x} + c$
Jadi, hasil integral dari $\int{\frac{1}{x^{2}}}dx$ adalah $=-\frac{1}{x} + c$
-
$\int{ax^n} dx =
\frac{1}{n+1}x^{x+1} + c, n ≠ -1$
Contoh:
Hitunglah integral dari $\int 2\sqrt{x} dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan rumus dasar integral $\int{ax^n} dx = \frac{1}{n+1}x^{x+1} + c, n ≠ -1$ , maka kita memperoleh:
$\int{2\sqrt{x}} dx$
$= \int{2x^{\frac{1}{2}}}$
$= \frac{2}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} + c$
$= \frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + c$
$=2.\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$
$= \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} +c$
$= \frac{4}{3}x\sqrt{x}+ c$
Hitunglah integral dari $\int 3x^{2} dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan rumus dasar integral $\\int ax^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1} + c, n ≠ -1$ dan manipulasi aljabar, maka diperoleh:
$\int3x^2$
$=\frac{3}{2+1}x^{2+1} + c$
$=\frac{3}{3}x^{3}$
$=x^{3} + c$
-
$\int a.f(x)dx$ = $a\int f(x)dx$
Contoh:
Tentukanlah hasil dari $\int{2x^4\sqrt{x^3}} dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan sifat integral $\int{a . f(x) dx = a\int{f(x)dx}}$ dan manipulasi aljabar, maka kita memperoleh:
$\int{2x^4\sqrt{x^3}} dx$
$=\int{2x^4 . x^{\frac{3}{2}}dx}$
$=2\int{x^4. x^{\frac{3}{2}}dx}$
$=2\int{x^{4+\frac{3}{2}}}$
$=2\int{x^{\frac{11}{2}}}$
$=2[\frac{1}{\frac{11}{2}+1}x^{\frac{11}{2}+1}] + c$
$=2[\frac{1}{\frac{13}{2}+1}x^{\frac{13}{2}+1}]+c$
$=2[\frac{1}{\frac{13}{2}}x^{\frac{13}{2}}] + c$
$= \frac{2}{\frac{13}{2}}x^{\frac{13}{2}} + c$
$=2.\frac{2}{13}x^{\frac{13}{2}}$
$=\frac{4}{13}x^{\frac{13}{2}} + c$
$=\frac{4}{13}x^{6}\sqrt{x} + c$
Jadi, hasil dari $\int{2x^4\sqrt{x^3}} dx$ adalah $=\frac{4}{13}x^{6}\sqrt{x} + c$
-
$\int$ {$f(x)+ g(x)$}$dx$ = $\int f(x)dx$ + $\int g(x)dx $
Contoh:
Tentukanlah hasil dari $\int{(x+2)^2} dx$
Penyelesaian:
Dengan menerapkan sifat integral $\int{ f(x)+g(x) }dx=\int{f(x)}dx + \int{g(x)}dx$ dan manipulasi alajabar, maka kita memperoleh:
$\int{(x+2)^2} dx$
$=\int{(x+2)(x+2)}$
$=\int{x^2 + 4x + 4} dx$
$=\int{x^2} dx + \int{4x} dx + \int{4}dx$
$=\int{x^2} dx + 4\int{x} dx + \int{4}dx$
$=\frac{1}{2+1} + 4[\frac{1}{1+1}x^{1+1}] + 4x + c $
$=\frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 + 4x + c $
$=\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + c $
Jadi, hasil dari $\int$ {$f(x)+ g(x)$}$dx$ = $\int f(x)dx$ + $\int g(x)dx $ adalah $=\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x + c $
-
$\int{ f(x)-g(x) }dx=\int{f(x)}dx - \int{g(x)}dx$
Contoh:
Tentukanlah hasil dari $\int{\frac{x^3-2x}{\sqrt{x^3}}}dx$
Penyelesaian
Dengan menerapkan sifat integral $\int{ f(x)-g(x) }dx=\int{f(x)}dx - \int{g(x)}dx$ dan manipulasi alajabar, maka kita memperoleh:
$\int{\frac{x^3-2x}{\sqrt{x^3}}}dx$
$=\int{(\frac{x^3}{\sqrt{x}}-\frac{2x}{\sqrt{x}})}dx $
$=\int(x^3 . x^{-\frac{1}{2}}- 2x. x^{-\frac{1}{2}}) dx$
$=\int(x^{\frac{5}{2}}- 2x^{\frac{1}{2}}) dx $
$=\int{x^{\frac{5}{2}}} dx - \int{2x^{\frac{1}{2}}}dx$
$=\int{x^{\frac{5}{2}}} dx - 2\int{x^{\frac{1}{2}}}dx$
$=\frac{1}{\frac{5}{2}+1}x^{\frac{5}{2}+1} - 2[\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}] + c$
$=\frac{1}{\frac{7}{2}}x^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + c$
$=1.\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} - 2.\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + c$
$=\frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{3}x^{\frac{7}{2}} + c$
$=\frac{2}{7}x^{3}\sqrt{x} - \frac{4}{3}x\sqrt{x} + c $
Jadi, hasil dari $\int{\frac{x^3-2x}{\sqrt{x^3}}}dx$ adalah $=\frac{2}{7}x^{3}\sqrt{x} - \frac{4}{3}x\sqrt{x} + c $
Carilah nilai $f(x)$ jika $f'(x) = x^{3} - 4x^{2} + 3$ dan $f(0) = 1$.
Penyelesaian:
| Diketahui | : | $f'(x) = x^{3} - 4x^{2} +3$, $f(0)=1$ |
| Ditanya | : | Carilah nilai $f(x)?$ |
| Dijawab | : |
$f'(x)=x^{3} - 4x^{2} +3$
maka $f(x) = \int x^{3} -4x^{2} + 3 dx$
$F(x) = \int x^3 - 4x^2 + 3 dx$
$=\frac{1}{4}x^{4} + \frac{4}{3}x^{3} + 3x +c$
→ $f(x) = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{4}{3}x^{3} + 3x + c$, karena $f(0) = 1$, maka
→ $f(0) = \frac{1}{4}(0)^{3} - \frac{4}{3}(0)^{3} + 3(0) + c$
→ $1 = 0 - 0 + 0 + c$, berarti $c = 1$.
Jadi, nilai $f(x)$ adalah $f(x) =\frac{1}{4}x^{4} - \frac{4}{3}x^{3} + 3x + 1$
- Isikan jawaban kamu pada kolom titik-titik atau kosong secara berurutan dari kiri ke kanan disetiap.
- Gunakan angka dan simbol matematika ($+ , - , : , dll)$ saat memasukkan jawaban
- Jika jawaban kamu benar maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna hijau.
- Jika jawaban kamu salah maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna merah.
- Input disamping akan terisi jika jawaban anda benar
Mari Mencoba 1
$1$. Carilah hasil integral dari $\int{12} dx$
Penyelesaian:
$\int{12} dx = $ $x$ $ + c$
Jadi, hasil integral dari $\int{12} dx$ adalah
$2$. Carilah hasil integral dari $\int x^{-5} dx$
Penyelesaian:
$\int x^{-5} dx =$Jadi, hasil integral dari $\int x^{-5} dx$ adalah
$3$. Carilah hasil integral dari $\int 9x^{-4} dx$
Penyelesaian:
$\int 9x^{-4} dx =$Jadi, hasil integral dari $\int 9x^{-4} dx$ adalah
$4$. Carilah hasil integral dari $6\sqrt{x^4} dx$
Penyelesaian:
$6\sqrt{x^4} dx$
$= \int$ $x$$=$
Jadi, hasil integral dari $\int 6\sqrt{x^{2}} dx$ adalah
- Pilihlah jawaban yang sudah disediakan dan kerjakanlah secara bertahap
- Jika jawaban kamu benar maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna hijau.
- Jika jawaban kamu salah maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna merah.
Mari Mencoba 2
$1$. Tentukan nilai dari $\int{(2x^4 - 4x^6 + 1)}dx$
Penyelesaian:
$\int{(2x^4 - 4x^6 + 1)}dx$
Jadi nilai dari $\int (2x^4 - 4x^6 + 1)dx$ adalah
Cek Jawaban Reset Jawaban$2$. Tentukan nilai dari $\int({3x^2 + 7\sqrt{x}})dx$
Penyelesaian:
$\int({3x^2 + 7\sqrt{x^{5}}})dx$
Jadi nilai dari $\int({3x^2 + 7\sqrt{x^{5}}})dx$ adalah
Cek Jawaban Reset Jawaban$3$. Tentukan nilai dari $\int{(2x - 5)^{2}dx}$
Penyelesaian:
$\int{(2x - 5)^{2}dx}$
Jadi nilai dari $\int{(2x - 5)^{2}dx}$ adalah
Cek Jawaban Reset Jawaban$4$. Carilah nilai $f(x)$ jika $f'(x) = x^4 - 3x^2 + 5$ dan $f(0) = 2$
Penyelesaian:
Diketahui:
$f'(x) = x^4 - 3x^2 + 5$
$f(0) = 2$
Ditanya: carilah nilai $f(x)$ ?
Dijawab:
$f'(x) = $ $f'(x) = x^4 - 3x^2 + 5$, maka
$f(x) =$
→ $f(x) =$ , karena $f(0) =2$, maka
Jadi nilai $f(x) $adalah
Cek Jawaban Reset Jawaban