Pengertian Integral

Konsep mengenai integral tak tentu dapat diterpakan dalam beberapa bidang kehidupan, misalnya di bidang ekonomi, biologi, dan fisika. Karena integral ini terutama teknik pengintegralan dengan parsial, maka diharapkan akan memahanmi semua konsep yang telah dijelaskan.

Dalam bidang ekonomi, fungsi marginal dapat ditentukan dengan mencari nilai turunan dari fungsi total. Sebaliknya, fungsi marginal total ditentukan dengan melakukan pengintegralan terhadap fungsi marginalnya. Fungsi-fungsi dalam ekonomi mencakup fungsi biaya, fungsi penerimaan, fungai produksi, serta fungsi konsumsi dan fungsi tabungan.

Untuk menambah wawasan mengenai penerapan integral tak tentu perhatikanlah contoh soal berikut:

Biaya marginal perusahaan ditunjukkan oleh fungsi marginal $MC = 3Q^{2}+ 2Q + 6$ dengan $Q$ menyatakan banyaknya atau barang. Jika biaya tetapnya $k = 4$, tentukanlah persamaan biaya total (TC).

Penyelesaian

Diketahui : $MC = 3Q^2 + 2Q + 6$, $k = 6$
Ditanya : Tentukanlah persamaan biaya total (TC)
Dijawab : Fungsi biaya total dinyatakan sebagai integral dari fungsi biaya marginal terhadap jumlah unit atau barang.

$TC = \int{MC} dQ $

= $\int{(3Q^2 - 2Q +6)} dQ$

$=\int{3Q^{2}} dQ -\int{2Q} dQ +\int{6} dQ$

$=3\int{Q^{2}} dQ -2\int{Q} dQ +\int{6} dQ$

$=3[\frac{1}{2+1}Q^{2+1}] - 2[\frac{1}{1+1}Q^{1+1}] - 6Q + k$

$=\frac{3}{3}Q^3 - \frac{2}{2}Q^2 + 6Q + k$

$=Q^3 - Q^2 + 6Q + k$

Karena $k = 4$, maka fungsi biaya totalnya, yaitu:

$TC = Q^3 - Q^2 + 6Q + 4$

Perhitungan biaya produsi marginal sebuah peruhaan dinyatakan dalam fungsi berikut.

Fungsi biaya produksi marginal($MP$): $MP = 6Q^{2} - 24Q + 36$

Untuk jumlah barang $Q = 500$, ternyata biaya total produksi ($TP$) sebesar $Rp247.018.102$.

Tentukan fungsi biaya produksi total tersebut.

Penyelesaian:

Dijawab:
$MP = 6Q^{2} - 24Q + 36$
$Q = 500$
$TP = Rp247.018.102$

Ditanya : Tentukan fungsi biaya produksi total?

Dijawab:

$TP = \int MP dQ$

$=\int(6Q^{2} - 2Q + 36)dQ$

$=2Q^{3} - 12Q + 3Q + k$

$=2Q^{3} - 12Q^{2} + 3Q + k$

Untuk $Q=500$, maka diperoleh nilai $k$:

$TP = 2Q^3 - 12Q^2 + 3Q + k$

$247.018.102 = 2(500)^{3} - 12(500)^{2} - 36(500) + k$

$=102$

$TP =2Q^2 -12Q62 +3Q + 102$

Sehingga, persamaan biaya produksi total menjadi $TP =2Q^3 -12Q^2 + 3Q + 102$

Selain contoh penerapan integral tak tentu di bidang ekonomi, berikut ini adalah contoh penerapan integral tak tentu di bidang fisika. Simaklah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Contoh 1

Sebuah mobil bergerak pada percepatan a yang memenuhi persamaan $a = 2t-1$ diamana satuan $a$ dalam ^m/_s$^2$ dan selang waktu detik. Jika kecapatan awal $v = 5 m/s$ dan posisi benda saat $t = 6$ adalah 92 m, maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat $t$ detik.

Penyelesaian:

Diketahui: $a = 2t -1$, $v = 5 m/s$, $t = 6$ , $s = 92$

ditanya: $r(t)$?

dijawab:

⇒ Tentukan fungsi kecepatannya

$v(t) = \int (2t-1) dt$

$v(t) = \int 2t dt - \int 1 dt$

$v(t) = 2\int t dt - \int 1 dt$

$v(t) = 2[\frac{1}{1+1}t^{1+}] - t + c$

$v(t) = \frac{2}{2}t^2 - t + c$

$v(t) = t^2 - t + c $

⇒ Carilah nilai $c$ dengan $t = 0$ dengan $v = 5 m/s$

$v(t) = t^2 - t + c $

$5 = (0)^2 - (0) + c$

$5 = c$

Sehingga fungsi kecepatan adalah $v(t) = t^2 - t + 5$

⇒ Cari fungsi posisi

$r(t) = \int t^2 - t + 5 dt$

$r(t) = \int t^2 dt - \int t dt + \int 5 dt$

$r(t)= \frac{1}{2+1}t^{2+1} - \frac{1}{1+1}t^{1+1} + 5t + c$

$r(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac {1}{2}t^2 + 5t + c$

Sehhingga fungsi kecepatan adalah $r(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac {1}{2}t^2 + 5t + c$

⇒ cari nilai $c$ dengan $t=6$ dan $r=92m$

$r(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac {1}{2}t^2 + 5t + c$

$92 = \frac{1}{3}(6)^3 - \frac{1}{2}(t)^2 + 5(6) + c$

$92 = \frac{1}{3}216 - \frac{1}{2}36 + 30 + c$

$92 = 72 - 18 + 30 + c$

$92 = 84 + c$

$92-84 = c$

$8 = c$

Jadi, nilai $r(t)$ adalah $r(t)= \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + 5t + 8$

Petunjuk

Isikan jawaban kamu pada kolom titik-titik atau kosong secara berurutan dari kiri ke kanan disetiap.
Gunakan angka dan simbol matematika ($+ , - , : , dll)$ saat memasukkan jawaban
Jika jawaban kamu benar maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna hijau.
Jika jawaban kamu salah maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna merah.
Input disamping akan terisi jika jawaban anda benar

Mari Mencoba

Latihan 1
Latihan 2

Perhitungan biaya penerimaan marginal sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi berikut. Fungsi biaya penerimaan marginal: $MR = 9Q^2 + 6Q - 12$ Untuk jumlah barang $Q = 1.000$, ternyata total biaya penerimaan sebesar $Rp.3.002.988.112$. Tentukanlah fungsi biaya penerimaan total serta fungsi biaya produksi total perusahaan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

$MR = $$Q$ $+$ $Q -$

$Q =$

$TR = Rp.$

Ditanya : Tentukanlah fungsi biaya penerimaan total perusahaan?

Dijawab:

$TR = \int MR dQ$

$= \int$($Q$ $+$$Q -$ )$dQ$

$=$ $Q$ $+$ $Q$ $-$ $Q + k$

Untuk $Q = $, maka diperoleh nilai $k$:

$TR = $

$=$ () $+$ () $-$ () $+ k$

$k = $

Sehingga, persamaan biaya penerimaan total menjadi $TR =$

Suatu molekul bergerak sepanjang garis koordinat dengan percepatan $a(t)= -10t + 22 $^m/_$s^{2}$ jika kecepatan pada $t = 0$ adalah $20 m/s$ maka tentukan kecepatan pada saat $t$ detik.

Penyelesaian:

Diketahui:

$a(t) =$ $t$ $+$ ^$m$/_$s^{2}$

$t = $

$v(0) =$ $m/s$

Ditanya: $v(t)$?

Dijawab:

Mencari nilai $v(t)$ dengan mengintegralkan fungsi $a(t)$

$v(t) = \int$( $t +$ )$dt$

$=$ $t$ + $t$ + $c$
Mencari $c$ ketika $v(0) =$ $m/s$

$v(0) = $ $t$ + $t$ + $c$

$=$ ()$+$( ) + $c$
$c =$

Jadi nilai kecepatan pada saat $t$ detik

$v(t) =$