1.1. Konsep Integral
Hubungan tersebut biasa ditulis dengan $F'(x) = \frac {dF(x)}{dx} = f(x)$
Mari Mengamati 1
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
Dapatkah kamu tentukan turunan fungsi-fungsi tersebut? Coba kamu turunkan fungsi-fungsi tersebut kemudian amatilah turunan nilai konstantanya! Hubungkan kembali fungsi awal dengan turunannya serta anti turunannya! (petunjuk: turunan fungsi $F(x)$ adalah $F'(x) = f(x) =y'$)
# | Soal | Penyelesaian: | Hasil |
---|---|---|---|
1. | $F(x) = \frac{1}{4}x^4$ | $F'(x)=f(x)=y'$=$\frac{d}{dx}[\frac{1}{4}x^4]=$ $\frac{1}{4}.4x^{4-1}=\frac{4}{4}x^{3}$ | $x^3$ |
2. | $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 4$ | $F'(x)=f(x)=y'$=$\frac{d}{dx}[\frac{1}{4}x^4 + 4]=$ $\frac{1}{4}.4x^{4-1} + 0 =\frac{4}{4}x^{3}$ | $x^3$ |
3. | $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}$ | $F'(x)=f(x)=y'$=$\frac{d}{dx}[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}]=$ $\frac{1}{4}.4x^{4-1} + 0 =\frac{4}{4}x^{3}$ | $x^{3}$ |
*Agar lebih memahami mari perhatikan contoh soal di halaman selanjutnya!
Contoh soal
Carilah antiturunan berikut:
$1$. $y' = \frac {dy}{dx} = x^4 $
Penyelesaian:
$y' = \frac {dy}{dx} = x^4 $,
- Turunan dari $x^5$ pastilah mengandung
unsur
$x^4$
sehingga
$ \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$ - Supaya koefisiennya menjadi $1$ maka
kedua
ruas dapat
dikali
dengan $\frac{1}{5}$ menjadi:
$\frac{d}{x}(\frac{1}{5}x^5) = \frac{1}{5}.5x^4$ sehingga $\frac{d}{dx}(\frac{1}{5}x^5) = x^4 $
Jadi antiturunan $y'=\frac{dy}{dx} = x^4$ adalah $y=\frac{1}{5}x^5$
$2$. $y' = \frac {dy}{dx} = 2x^3 $
Penyelesaian:
$y' = \frac {dy}{dx} = 2x^3 $,
-
Turunan dari $x^4$ pastilah mengandung unsur $x^3$
sehingga
$\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$ -
Supaya koefisiennya menjadi $1$ maka kedua ruas dapat
dikali
dengan $\frac{1}{4}$ menjadi:
$\frac{d}{x}(\frac{1}{4}x^4) = \frac{1}{4}.4x^3$ sehingga $\frac{d}{dx}(\frac{1}{4}x^4) = x^3 $ -
Sekarang hasil antiturunan $x^3$ yaitu $\frac{1}{4}x^4$
kalikan
dengan 2 menjadi:
$\frac{d}{dx}(2(\frac{1}{4}x^4)) = \frac{d}{dx}(\frac{2}{4}x^4) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^4) = 2x^3 $
Jadi, antiturunan $y'= \frac{dy}{dx} = 2x^3$ adalah $\frac{1}{2}x^4$
$3$. $y' = \frac {dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} $
Penyelesaian:
$y' = \frac {dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} $,
-
Ubah $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ menjadi bentuk
perpangkatan biasa yaitu
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ - Untuk mempermudah ambil fungsi yang pangkat satu lebih besar daripada $x^{-\frac{1}{2}}$ yaitu $x^{\frac{1}{2}}$
-
Turunkan fungsi $x^{\frac{1}{2}}$ sehingga
$\frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}})$ = $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ -
Supaya koefisiennya menjadi $1$ maka kedua ruas dapat
dikali dengan $2$ menjadi:
$\frac{d}{dx}(2x^{\frac{1}{2}}) = 2.\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ sehingga $\frac{d}{dx}(2x^\frac{1}{2})$ = $x^{-\frac{1}{2}}$ -
Ubah hasil antiturunan $\frac{d}{dx}(2x^{\frac{1}{2}})$
ke bentuk akar menjadi:
$2\sqrt{x}$
Jadi, antiturunan dari $ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x}} $ adalah $y = 2\sqrt{x}$
- Isikan jawaban kamu pada kolom titik-titik atau kosong secara berurutan dari kiri ke kanan disetiap.
- Gunakan angka saat memasukkan/megisikan jawaban
- Jika jawaban kamu benar maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna hijau.
- Jika jawaban kamu salah maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna merah.
- Jika jawaban kamu salah, kamu dapat menghapus jawaban tersebut dan mengantinya dengan jawaban yang benar
- Input disamping akan terisi jika jawaban anda benar atau salah
Mari Mencoba
1. Carilah antiturunan $y' = \frac {dy}{dx} = x^3 $
Penyelesaian:
Diketahui: $y' = \frac {dy}{dx} = x^3 $
Dijawab:
-
Turunan dari $x$ pastilah mengandung unsur $x^{3}$ sehingga
$\frac{d}{dx}$($x$ ) = $x$
-
Supaya koefisiennya menjadi $1$ maka kedua ruas dapat dikali
dengan $\frac{1}{4}$ menjadi:
$\frac{d}{dx}$(/$x$ ) =/.$x$
Sehingga $\frac{d}{dx}$(/$x$) = $x^{3}$
Jadi, antiturunan $y'= \frac{dy}{dx} = x^3$ adalah $y = $
2.Carilah antiturunan $y' = \frac {dy}{dx} = 3x^5 $
Penyelesaian:
Diketahui: $y' = \frac {dy}{dx} = 3x^5 $
Dijawab:
-
Abaikan nilai koefisiennya terlebih dahulu
-
Turunan dari $x$ pastilah mengandung unsur $x^5$ sehingga
$\frac{d}{dx}$($x$) $=$ $x$ -
Supaya koefisiennya menjadi 1 maka kedua ruas dapat dikali
dengan
/menjadi:
$\frac{d}{dx}$(/$x$ ) $=$/. $x$
Sehingga $\frac{d}{dx}$ (/$x$) $=x^{5}$ -
Sekarang hasil antiturunan $x^5$ yaitu kalikan dengan menjadi:
$\frac{d}{dx}$( (/$x$) = $3x^5$
Jadi, antituran $y'=\frac{dy}{dx} = 3x^{5}$ adalah $y = $
3. Carilah antiturunan $y' = \frac {dy}{dx} = \frac{5}{\sqrt{x}} $
Penyelesaian:
$y' = \frac {dy}{dx} = \frac{5}{\sqrt{x}} $
-
Ubah $\frac{dy}{dx}=\frac{5}{\sqrt{x}}$ menjadi
perpangkatan biasa yaitu
$\frac{dy}{dx} =
$ $x$ $-$
/
- Abaikan terlebih dahulu koefisiennya
-
ambil fungsi pangkat satu lebih besar daripada
yaitu $x$
/
- Turunakan fungsi
$\frac{d}{dx}$($x$/) $=$ -
Supaya koefisiennya menjadi $1$ maka kedua ruas dikali menjadi:
$\frac{d}{dx}$($x$/) $=$ ./$x$ $-$/
Sehingga $\frac{d}{dx}$( $x$/) $= x^{-\frac{1}{2}}$ - Sekarang hasil antiturunan yaitu
kalikan
dengan
() = $x$/ -
Ubah hasil turunan $\frac{d}{dx} = $ ke bentuk akar menjandi:
√
Jadi, hasil anntiturunan dari $y'=\frac{d}{dx}=\frac{5}{\sqrt{x}} $ adalah $y = $