Pengertian Integral

1.2. Notasi Integral

Kita telah membahas tentang turunan dan antiturunan serta hubungannya pada beberapa fungsi yang sederhana. Pada kesempatan ini, kita akan menggunakan sebuah notasi operator antiturunan tersebut. Antiturunan dari sebuah fungsi

f (x)

ditulis dengan menggunakan notasi "

\int

Mari Mengamati 2

Dilihat dari Mari Mengamati $1$ dari penyelesaian tersebut dapat dituliskan Kembali dengan menggunakan notasi integral.

#	$F (x)$	$f (x)$	Notasi Integral
1.	$F (x) = \frac{1}{4} x^{4}$	$F^{'} (x) = f (x) = y^{'} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] = x^{3}$	$F (x) = \int f (x) d x = \int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + c$
2.	$F (x) = \frac{1}{4} x^{4} + 4$	$F^{'} (x) = f (x) = y^{'} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4} + 4] = x^{3}$	$F (x) = \int f (x) d x = \int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + c$
3.	$F (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2}$	$F^{'} (x) = f (x) = y^{'} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2}] = x^{3}$	$F (x) = \int f (x) d x = \int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + c$

Jika

f (x)

turunan dari

F (x)

dengan

f (x) = x^{3}

maka diperoleh

F (x) = \int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + c

dengan

c

adalah konstanta. Secara induktif,dapat disimpulkan:

Jika $F (x)$ adalah fungsi dengan $F^{'} (x) = f (x)$ maka $\int f (x) d x = F (x) + c$ .

Contoh soal

Contoh

Pada konsep turunan, kita dapat memperoleh aturan turunan dengan menggunakan konsep limit fungsi sehingga proses penurunan sebuah fungsi dapat dilakukan dengan lebih sederhana dan cepat. Bagaimana dengan konsep integral suatu fungsi? Adakah aturan yang dapat dimiliki agar proses integrasi suatu fungsi atau mengembalikan fungsi turunan ke fungsi semula dapat dilakukan dengan cepat?
Penyelesaian:
Untuk menjawab permasalahan ini, akan dilakukan beberapa pengamatan pada beberapa contoh turunan dan antiturunan suatu fungsi yang sederhana. Kamu diminta mengamati dan menemukan pola dari proses antiturunan fungsi tersebut. Perhatikan Tabel berikut.

Tabel 1. Pola Hubungan Turunan dan Antiturunan fungsi $y = a x^{n}$

No.	Turunan Fungsi $(f (x))$	Antiturunan Fungsi (F(x))	Definisi
1.	$1$	$x$	$\frac{1}{0 + 1} x^{0 + 1}$
2.	$2 x$	$x^{2}$	$\frac{2}{1 + 1} x^{1 + 1}$
3.	$3 x^{2}$	$x^{3}$	$\frac{3}{2 + 1} x^{2 + 1}$
4.	$8 x^{2}$	$2 x^{4}$	$\frac{8}{3 + 1} x^{3 + 1}$
5.	$a n x^{n - 1}$	$a x^{n}$	$\frac{a}{(n - 1) + 1} x^{(n - 1) + 1}$
6.	$a x^{n}$	?	$\frac{a}{n + 1} x^{n - 1}$

Dari pengamatan pada tabel tersebut, dapat dilihat sebuah aturan integral atau pola antiturunan dari turunannya yaitu $\int a x^{n} d x = \frac{a}{n + 1} x^{n + 1}$ dengan $n$ bilangan rasional.

*Setelah memperhatikan Contoh Soal cobalah kerjakan Soal Latihan dengan mengisi kolom yang kosong

Petunjuk

Isikan jawaban kamu pada kolom titik-titik atau kosong secara berurutan dari kiri ke kanan disetiap.
Gunakan angka saat memasukkan jawaban
Jika jawaban kamu benar maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna hijau.
Jika jawaban kamu salah maka kolom tersebut akan berubah menjadi warna merah.
Jika jawaban kamu salah, kamu dapat menghapus jawaban tersebut dan mengantinya dengan jawaban yang benar
Input disamping akan terisi jika jawaban anda benar atau salah

Mari Mencoba

Lakukan kembali percobaan berikut seperti pada Tabel $1$ . Amati dan dapatkan kembali kebenaran aturan integrasi dengan melengkapi titik-titik di bawah ini dengan jawaban yang tepat untuk mendapatkan kebenaran aturan integrasi.

Latihan

No.	Turunan Fungsi $(f (x))$	Antiturunan Fungsi (F(x))	Definisi
$1$ .	$4 x$	$2 x^{2}$	$\frac{4}{1 + 1} x^{1 + 1}$
$2$ .	$10 x^{9}$	$x$	$\frac{10}{9 + 1} x^{9 + 1}$
$3$ .	$- 36 x^{11}$	$- 3 x^{12}$	$+ 1$ $x$ ^{^{$+ 1$}}
$4$ .	$12 x^{2}$	$x$	$\frac{12}{2 + 1} x^{2 + 1}$
$5$ .	$20 x^{4}$	$4 x^{5}$	/ $+$ $x$ ^{^$+$}
$6$ .	$\frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3}}$	$x$ ^{^/}	$\frac{\frac{2}{3}}{- \frac{2}{3} + 1} x^{- \frac{2}{3} + 1}$